第六十五號

    NO. 65

2003.8.16

值日生:CP

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之前延過一期,上回又遲了幾天,CP原本抱著這期一定要如期出刊的決心,結果遇上了美加大停電,還是延遲了這期電子報出報的時間。唉~~

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主題連載

近代邏輯的發展(4) / CP

  

4.0  前言

在上一篇主題連載中我們提到新邏輯的一些特徵,這些都是在這一百多年當中,邏輯這門學科逐漸發展得出的結果。新邏輯是現在大學基本邏輯課教授的主要內容,我想一般在學校裡修過這堂課的朋友對於那些概念應該不會太陌生。然而,若將時間拉到新邏輯剛開始發展的一百多年前,我們大概要稍微發揮一下想像力;在那個時代,沒有網際網路,連旅行、書信往返都不如現在方便,就連電話,也是剛剛過去這個世紀的新產品;在這樣的情況下,學者之間的資訊交換比起現在是緩慢很多的,雖然他們彼此之間還是會因為對共同的問題感到興趣,而注意彼此的研究與研究結果,但更多的情況是在不同的地域埋頭從事自己的研究。

因為歐氏幾何面臨的挑戰,數學家為了重新為數學尋找一個穩定的基礎,漸漸發現原有的推論工具不敷使用,開始發揮創意,將數學推向更抽象的層次,將符號與對符號的解釋區分開來,並且發明新的符號來代表新的概念。不同的數學家在著作中可能使用不同的符號來代表相同的概念,這是很常見的現象,現在大家比較普遍使用的符號,很多是因為容易排版、外觀簡潔,所以流通比較迅速,才為較多人所接受、所使用。

新邏輯的一個特色就是符號化,這也是它為何被稱為「符號邏輯」的原因。許多人一提到符號邏輯,就有「看到這些符號就頭大」的反應,因為那似乎不是我們一般熟悉的表達方式,但是將邏輯符號化,確實可以幫助我們「透析」事理,讓事物之間的關係更容易被顯露出來。

 

4.1  建構一個一致的系統

現在我們或許對於對象語言與後設語言的區分感到十分熟悉,這可以推溯到數學家David Hilbert1862-1943)在1922年第一次提出的後設語言概念。他試圖建構一個一致的(亦即沒有矛盾的)系統,在他看來,要建構這樣一個系統,第一步工作便是將意義與符號區分開來,將整個演繹系統中,所有與意義有關的東西都拿掉,只留下符號,以及運算這些符號的語法規則;於是,現在這整個系統,在我們加諸解釋、賦予符號意義之前,只是一堆空洞的符號字串。他相信如果我們可以建立這樣一個一致的系統,然後透過在後設系統中對之給予適當的解釋,就能在這個系統中確保住「真」這個性質。

我們可以以Bertrand RussellAlfred WhiteheadPrincipia Mathematica(《數學原理》,1910年初版發行,1925年修訂版發行)一書中,所提出的公設系統作為例子。[1]首先,我們需要作的是,將所有派上用場的符號都列出,它們是我們在這系統中所使用的「字彙」;其次,我們需要規定語法規則,字彙間什麼樣的組合可以算是一個「合法的」命題,什麼樣的組合不行;再來,便是需要規定推論規則,指明了如何從這命題推導出其他命題;最後便是要挑選幾條必要的公理。

在這個系統中,他們使用的「字彙」包括用來代表命題的基本符號:pqr,以及代表連結詞的符號:‘~’(「非」,否定的意思)、‘v’(「或」)、(「若……則……」)[2](「和」、「以及」)。

根據這個系統的語法規則,每個代表命題的基本符號本身都是一個命題;若‘s’是一個合法命題,則‘~s’也是一個合法命題;若‘s1’ ‘s2’是命題,則‘s1 v s2’ ‘s1 s2’ ‘s1 s2’都是合法的命題;除此之外,沒有其他命題。

RussellWhitehead使用兩條推論規則,一個是替代規則(Rule of Substitution),根據這條規則,我們可以將一個命題中所有相同的命題符號同時以其他的命題符號來替換[3];另一條規則是分離規則(Rule of Detachment,這條規則又稱Modus Ponens),根據這條規則,從s1s1 s2,我們可以推得s2[4]

再加上下面四條公理,便完成了這個公設系統。

(1) (p v p) q

(2) p (p v q)

(3) (p v q) (q v p)

(4) (p v q) (( r v p) (r v q))

這還不夠,我們希望它是一個沒有矛盾的系統;要如何證明這樣一個系統不會出現矛盾呢?沒有矛盾意謂的是,我們不會從s推導出~s。要如何證明這樣的情形在這個系統中不可能發生呢?

根據這個系統,p (~p q) 是一個定理(亦即,可從公理與推論規則推導得之(有興趣的人可以自己推論看看))。讓我們假設,s~s都可在此系統中被推導出,然後我們用s替換p (~p q)中的p,得出s (~s q),根據分離規則,從ss (~s q),我們可以得到~s q,然後再一次根據分離規則,從~s~s q,可以得出q,這意謂著q在這系統中是一個定理;根據替換原則,我們可以用任何命題去替換q,這結果意謂的是,這個系統可以推導出任何命題。

但是我們並不希望我們的系統可以推導出任何命題,因為這樣一來,它就無法排除矛盾,我們期望我們的系統是一個一致的、不容許矛盾出現的系統;我們希望它可以推導出某些命題,然後將其他與這些命題矛盾的命題,都排除在外。

要如何達到我們所希望的這個結果呢?我們必須證明:至少有一個命題是這個系統證不出來的。(換言之,證明不是所有的命題都能由這個系統證出。)

要如何證明這一點呢?RussellWhitehead想出一個很聰明的策略,他們說,「我們要找到一種性質,是那些我們想要保留在系統中的命題所具有的,同時是那些我們希望摒除在系統外的命題所欠缺的;如果這個性質在推論過程中都確定會被保留下來,那麼我們便可以透過推論來篩選出我們想要的命題,得到我們想要的系統。」他們意想中擔負這個責任的性質是「套套句」(tautology),根據定義,一個命題是套套句,意指的是,它在任何可能的情況下都為真。[5]只要證明這個性質不會受推論規則影響,會在推論過程中被保留下來[6],我們便可以完成下列這個證明:

(1) 這個系統每一個公理都是套套句。

(2) 套套句這性質不會在推論過程中被抵消。

(3) 每一個從公理中推導出的(也就是定理)都是套套句。(從(1)(2)

(4) 因此,那些不是套套句的命題,也不會是這個系統的定理。(從(3)

(5) 我們可以找到一個不是套套句的命題。(比如:p v q

(6) 這個不是套套句的命題,不會是這個系統的定理。

(7) 但如果這個系統不一致的話,每一個命題都會是它的定理(亦即,每個命題都可由此系統導出)。

(8) 因此,這個系統是一致的。(從(5)(6)(7)



[1] 在此需要稍加說明的是,在RussellWhitehead的系統中,他們並未提出後設語言的概念。Principia Mathematica的目標是為了將數學化約到邏輯上,試圖以邏輯作為數學的基礎,他們並不認為我們可以在邏輯之外還有什麼邏輯的「後設」系統;後設語言的概念要一直到1922年才由Hilbert提出,現在在邏輯中許多重要的定理都是後設定理(比方說系統的一致性、完備性等)。在本文中,筆者只是援引RussellWhitehead的系統作為一致性公設系統的例子。

[2] 因為我打不出他們原本使用的那個符號,所以用這箭號替代。

[3] 舉例來說,原來的命題是(1) p v p,我們可以用q取代其中所有的p,替代後的命題成為(2) q v q,從(1)(2)便是使用這條替換規則;或者從(1)(3) (p v p) v (p v p) (用(p v p)去替換(1)中的p),這也是使用這條替換規則。這條規則使用的限制在一定要全部換,以這個例子來說,若是只換其中一個,得到(4) p v q便不是一個被允許的替換。

[4] 例如,根據這條規則我們可以從p v p(p v p) p推出p

[5] 我們可以用真值表檢驗一個命題的真假值,根據語法規則:(TF表不同的兩個值)

   p     ~p

  T       F

  F       T

 

   p    q      p v q      p q      p q

   T    T         T            T            T

   T    F         T            F            F

   F     T        T            T            F

   F     F         F            T            F

 

根據真值表,四個公理都是套套句(亦即,在每一列結果中都是獲得T值)。

[6] 有興趣的朋友可以自己嘗試看看要如何證明這一點。

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